Vlastní číslo

Vlastním číslem čtvercové matice A se nazývá číslo, pro které existuje vektor $\mathbb{v} \in L,\; \mathbb{v} \neq 0$ takový, že $A \cdot v = \lambda \cdot v$ . Vektor v označíme za vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu $\lambda$ .

Jednoduše řečeno je vlastní vektor takový vektor, jehož směr se po aplikaci transformace A nemění. Vlastní číslo je pak koeficient změny velikosti daného vektoru.

Příklad

Spočítejte vlastní čísla a vlastní vektory dané matice.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Problém hledání vlastních čísel a vektorů $A \cdot v = \lambda \cdot v$ můžeme vyjádřit také následující rovností:

$(\mathbb{A} - \lambda \cdot \mathbb{I}) \cdot \mathbb{v} = 0$

Jelikož hledáme nenulové vlastní vektory, tak musí být determinant matice $\mathbb{A} - \lambda \cdot \mathbb{I}$ nulový (tj. matice musí být singulární).

$\det\left|\, \begin{matrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{matrix} \right| = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda - 3) \cdot (\lambda +1)$

Vlastní čísla matice A jsou $\lambda_{1} = 3$ , $\lambda_{2} = -1$ , protože je jedno vlastní číslo kladné, a druhé záporné, tak je symetrická matice A indefinitní.

Nyní již zbývá pouze získat dosazením vlastní vektory matice A.

Pro $\lambda_{1} = 3$

$\begin{pmatrix} 1 - 3 & 2 \\ 2 & 1 - 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = 0 \rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_{11} \cr v_{12} \end{pmatrix} = 0$

Řešením je zřejmě vektor $v_{1} = \alpha \cdot (1, 1)$ .

Pro $\lambda_{2} = -1$

$\begin{pmatrix} 1 - (-1) & 2 \\ 2 & 1 - (-1) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{pmatrix} = 0 \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{pmatrix} = 0$

Řešením je vektor $v_{2} = \alpha \cdot (1, -1)$ .

Literatura

WERNER, Tomáš. Optimalizace [online]. [s.l.] : [s.n.], 2010-11-11 [cit. 2010-11-16]. Dostupné z WWW: <http://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a4b33opt/opt.pdf>.

{ zpětná vazba }

Tweet	Delicious
Sdílet

Hodnocení (3): 3,17

Přečtěte si také

Kvadratická rovnice

Převod čísla mezi soustavami

Diskuse

Pavel Mička16.11.2010

Upravil jsem článek, jelikož jsem tam poměrně dost nevhodně připlácnul do postupu MATLABovskou notaci (a dohromady to nebylo zrovna dobře (jak jsi psal))...teď by snad už mělo být správně.
Díky za připomínku.

Jirka14.11.2010

Na začátku se předpokládá rovnost A*V = V*D -> (A-D)*V = 0 .
Jestli dobře chápu, tak mezikrok by byl A*V - (D*V)^T = 0, kde ^T je transponovaná matice.
Další mezikrok před vytýkáním V je A*V - D^T * V^T = 0. Tady platí že D^T = D, protože D je diagonální matice, ale platí taky V^T = V ? V by měla být orthogonální (popř. orthonormální), potom ale platí, že transponovaná matice V^T se rovná převrácené matici V^-1 a potom nemůže platit V^-1=V, to platí snad jen pro identitu ?