Tečná rovina grafu dvou proměnných

Nechť má funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a pak lze její tečnou rovinu v tomto bodě vyjádřit jako

$z = f(a) + {{\partial f} \over {\partial x}}(a) \cdot (x - a_{1}) + {{\partial f} \over {\partial y}}(a) \cdot (y - a_{2})$

Příklad

Spočtěte rovnici tečné roviny ke grafu f(x, y) = 6xy^2 -2x^3 -3y^3 v bodě a = (1, -2) .

Tečná rovina grafu f

Definičním oborem funkce je množina $\mathbb{R}^2$ a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny.

Nejprve vypočítáme funkční hodnotu f(a) .

$f(a) = 6 \cdot 1 \cdot 4 - 2 + 3 \cdot 8 = 46$

Nyní zjistíme parciální derivace funkce.

${{\partial f} \over {\partial x}} = 6y^2 - 6x^2$
${{\partial f} \over {\partial y}} = 12xy - 9y^2$

Vypočteme funkční hodnoty parciálních derivací v bodě a.

${{\partial f} \over {\partial x}} (a) = 6 \cdot 4 - 6 \cdot 1 = 18$
${{\partial f} \over {\partial y}} (a) = 12 \cdot 1 \cdot (-2) - 9 \cdot 4 = -24 - 36 = -60$

Nakonec dosadíme do vzorečku.

$z = 46 +18 \cdot (x-1) - 60 \cdot (y+2)$

{ zpětná vazba }

Tweet	Delicious
Sdílet

Hodnocení (4): 3,75

Přečtěte si také

Taylorův polynom

Vázaný extrém

Diskuse

Článek zatím nemá žádné komentáře.