Vlastní číslo

Vlastním číslem čtvercové matice A se nazývá číslo, pro které existuje vektor \\mathbb{v} \\in L,\\; \\mathbb{v} \\neq 0 takový, že A \\cdot v = \\lambda \\cdot v. Vektor v označíme za vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu \\lambda.

Jednoduše řečeno je vlastní vektor takový vektor, jehož směr se po aplikaci transformace A nemění. Vlastní číslo je pak koeficient změny velikosti daného vektoru.


Příklad

Spočítejte vlastní čísla a vlastní vektory dané matice.


A = 
\\begin{pmatrix}
1 & 2 \\\\
2 & 1
\\end{pmatrix}

Problém hledání vlastních čísel a vektorů A \\cdot v = \\lambda \\cdot v můžeme vyjádřit také následující rovností:


(\\mathbb{A} - \\lambda \\cdot \\mathbb{I}) \\cdot \\mathbb{v} = 0

Jelikož hledáme nenulové vlastní vektory, tak musí být determinant matice \\mathbb{A} - \\lambda \\cdot \\mathbb{I} nulový (tj. matice musí být singulární).


\\det\\left|\\,
\\begin{matrix}
1-\\lambda & 2 \\\\
2 & 1-\\lambda
\\end{matrix}
\\right| = \\lambda^2 - 2\\lambda - 3 = (\\lambda - 3) \\cdot (\\lambda +1)

Vlastní čísla matice A jsou \\lambda_{1} = 3, \\lambda_{2} = -1, protože je jedno vlastní číslo kladné, a druhé záporné, tak je symetrická matice A indefinitní.

Nyní již zbývá pouze získat dosazením vlastní vektory matice A.

Pro \\lambda_{1} = 3


\\begin{pmatrix}
1 - 3 & 2 \\\\
 2 & 1 - 3
\\end{pmatrix}
 \\cdot 
\\begin{pmatrix}
v_{11} \\\\
 v_{12}
\\end{pmatrix}
 = 0 \\rightarrow 
\\begin{pmatrix}
-2 & 2 \\\\ 
2 & -2
\\end{pmatrix}
 \\cdot 
\\begin{pmatrix}
v_{11} \\cr v_{12}
\\end{pmatrix}
 = 0
Řešením je zřejmě vektor v_{1} = \\alpha \\cdot (1, 1).

Pro \\lambda_{2} = -1


\\begin{pmatrix}
1 - (-1) & 2 \\\\
 2 & 1 - (-1)
\\end{pmatrix}
\\cdot 
\\begin{pmatrix}
v_{21} \\\\ v_{22}
\\end{pmatrix}
= 0 \\rightarrow 
\\begin{pmatrix}
2 & 2 \\\\
 2 & 2
\\end{pmatrix}
\\cdot 
\\begin{pmatrix}
v_{21} \\\\
v_{22}
\\end{pmatrix}
= 0
Řešením je vektor v_{2} = \\alpha \\cdot (1, -1).

Literatura

  • WERNER, Tomáš. Optimalizace [online]. [s.l.] : [s.n.], 2010-11-11 [cit. 2010-11-16]. Dostupné z WWW: <http://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a4b33opt/opt.pdf>.







Doporučujeme