Taylorův polynom

Nechť funkce f má v bodě a všechny derivace až po řád n. Pak definujeme Taylorův polynom stupně n se středem a jako


T_{n}(x) = \sum_{i=0}^n {{1 \over {i!}} \cdot f^{(i)}(a) \cdot (x - a)^{i}}

Pro funkci více proměnných lze Taylorův polynom vyjádřit pomocí totálních diferenciálů jako


T_{n}(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) =

f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}) + {{df(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m})} \over {1!}} + {{d^{2}f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m})} \over {2!}} + \cdots + {{d^{n}f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m})} \over {n!}}

Taylorův polynom se používá k polynomiální aproximaci funkcí, protože platí, že všechny derivace Taylorova polynomu až do stupně n mají ve středu polynomu stejné funkční hodnoty jako odpovídající derivace funkce f. Tato aproximace je na okolí bodu a tím přesnější, čím vyšší stupeň polynomu použijeme. Zároveň platí, že se chyba se vzdáleností od středu zvyšuje.

V případě, že má Taylorův polynom střed v bodě 0, pak se označuje také jako Maclaurinův polynom.

Příklad

Aproximujte funkci \sin x v bodě a = 0 pomocí Taylorova polynomu řádu 3.


T_{3}(0) =  {1 \over {0!}} \cdot \sin 0 \cdot (x - 0)^0 +  {1 \over {1!}} \cdot \cos 0 \cdot (x - 0)^1 -  {1 \over {2!}} \cdot \sin 0 \cdot (x - 0)^2

-  {1 \over {3!}} \cdot \cos 0 \cdot (x - 0)^3 = x - {1 \over {3!}} \cdot x^3

Příklad 2

Aproximujte funkci dvou proměnných f(x, y) = 6xy^2 - 2x^3 - 3y^3 v bodě a = (1, -2) Taylorovým polynomem řádu 2.

Vypočítáme funkční hodnotu f v a .

f(x, y) = 6xy^2 - 2x^3 - 3y^3 \rightarrow f(a) = 46

Vypočteme všechny potřebné parciální derivace a jejich funkční hodnoty v bodě a.

{{\partial f} \over {\partial x}} = 6y^2 - 6x^2 \rightarrow {{\partial f} \over {\partial x}}(a) = 18
{{\partial f} \over {\partial y}} = 12xy - 9y^2 \rightarrow {{\partial f} \over {\partial y}}(a) = -60
{{\partial f} \over {\partial^2 x}} = -12x \rightarrow {{\partial f} \over {\partial^2 x}}(a) = -12
{{\partial f} \over {\partial x \partial y}} = 12y \rightarrow {{\partial f} \over {\partial x \partial y}}(a) = -24
{{\partial f} \over {\partial^2 y}} = 12x - 18y \rightarrow {{\partial f} \over {\partial^2 y}}(a) = 48

Po dosazení do vzorečku vychází aproximace Taylorovým polynomem řádu 2 v bodě a .

T_{2}(a) = 46 + {{18 \cdot (x-1) - 60 \cdot (y+2)} \over {1!}}
 +  {{-12 \cdot (x-1)^2 - 2 \cdot 24 \cdot (x-1) \cdot (y+2) + 48 \cdot (y+2)^2} \over {2!}}
Hodnocení (5): 4,4

Přečtěte si také

Diskuse





Pavel Mička25.11.2009
Petr: dekuji za pripominku, opraveno :-)
Petr Sobotka24.11.2009
Pavle, měl bych malinkou připomínku k tomu předpisu na začátku článku (pomocí sumy). Dej to první íčko v horním indexu do závorky, tak se liší zápis derivace od mocniny. Z textu to samozřejmě lze snadno pochopit, ale je to takhle trochu matoucí.