Malá Fermatova věta
Malá Fermatova věta je věta z teorie čísel, která říká, že pro každé prvočíslo p nesoudělné s číslem a platí:
Důkaz
Věta je speciálním případem Eulerovy věty, která byla dokázána, proto i tato věta platí.
Příklad:
Kolik je ?
Úkrok stranou – velká Fermatova věta
Na tomto místě bývá zvykem říci něco o velké Fermatově větě. Velká (také zvaná poslední) Fermatova věta z nejzapeklitější problém, který amatérský matematik 17. století Pierre de Fermat vymyslel (amatérský tím, že se matematikou neživil, jeho výsledky rozhodně amatérské nebyly) . Fermat měl jednu pro matematiky velmi nepopulární vlastnost, o své důkazy se nedělil, vždy jenom světu sdělil, že vyřešil nějaký problém a pak se bavil tím, jak se ostatní matematici snaží vymyslet důkaz, který měl on již napsán.
Velká Fermatova věta vyšla jako součást knihy „Diofantova Aritmerika doplněná o pozorování Pierra de Fermat“. Tuto knihu vydal Fermatův syn, když našel v pozůstalosti po otci Diofantovu Aritmetiku, doplněnou po okrajích listů o otcovy poznámky. Tato nově vydaná kniha (v roce 1670) obsahovala 48 problémů, které Fermat poznamenal. Všechny z nich se podařilo potvrdit (nebo vyvrátit), až na jeden poslední – velkou Fermatovu větu (odtud anglický název „Fermat's last theorem").
Fermat tuto větu poznamenal takto: „Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet“, česky: ,,Je nemožné rozdělit krychli do dvou krychlí, či čtvrtou mocninu do dvou čtvrtých mocnin, nebo obecně jakoukoli mocninu vyšší než druhou do dvou stejných mocnin. Objevil jsem opravdu tak podivuhodný důkaz, že tento okraj je příliš malý, aby se do něj vešel“.
Matematicky zapsáno
neplatí pro žádné .
Tato „neškodná“ úprava Pythagorovy věty odolávala náporu matematiků déle než 300 let a způsobila mnoho zničených slibných kariér. Postupem času se z ní stal nejslavnější problém, který ani přes snahu mnoha slavných řešitelů (Euler, Lamé, Cauchy...) nepodléhal. Tuto větu se podařilo dokázat až v roce 1994 britskému matematikovi Andrew Wilesovi, a to prostředky matematiky 20. století, důkaz má zhruba 100 stran a je to asi nejtěžší čtení před spaním na světě. Do dnes se neví, jestli Fermat měl nějaký krátký a elegantní důkaz této věty nebo jestli se spletl. Každopádně díky jeho větě (ač je sama celkem k ničemu) a jejímu důkazu vznikla spousta použitelné matematiky.
