Variace

Mějme prvků. Pak nazveme každou uspořádanou k-tici ( $k \geq n$ ), sestavenou z těchto prvků tak, aby se žádný z nich neopakoval, variací. Speciálním případem variace pro k = n je permutace.

Počet všech k-členných variací z n prvků vypočteme jako:

$V(k,\; n) = n\cdot(n-1)\cdot(n-2) \cdot \cdots (n - k + 1) = {{n!} \over {(n-k)!}}$

Za předpokladu, že umožníme opakovaný výskyt jednotlivých prvků, tak hovoříme o variaci s opakováním. Počet všech variací s opakováním platí vzorec:

$V'(k,\; n) = n^{k}$

Příklad

Vypište všechny 2 členné variace prvků $a,\; b,\; c,\; d$ .

Řešení

$V = \{[a,\;b],\;[a,\;c],\;[a,\;d],\;[b,\;a],\;[b,\;c],\;[b,\;d],\;[c,\;a],\;[c,\;b],\;[c,\;d],\;[d,\;a],\;[d,\;b],\;[d,\;c]\}$

Příklad

Vypište všechny 2 členné variace s opakováním prvků $a,\; b,\; c$ .

Řešení

$V' = \{[a,\;b],\;[a,\;c],\;[a,\;a],\;[b,\;a],\; [b,\;b],\;[b,\;c],\;[c,\;a],\;[c,\;b],\;[c,\;c]\}$

Příklad

Mějme organizaci, která má 20 členů a volí své vedení. Všichni členové kandidují na pozice předsedy, prvního místopředsedy a pokladníka. Každý člen může zastávat maximálně jednu funkci. Kolika různými způsoby může dopadnout volba?

Řešení

Z 20 prvků musíme vybrat tři různé. Zároveň záleží na pořadí jednotlivých prvků, jelikož jsou jednotlivé pozice, na než jsou členové voleni, odlišné. Počítáme proto počet variací (bez opakování) 3 prvků z 20.

$V(3,\; 20) = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$