Vázaný extrém

Vázaný extrém funkce $f(\mathbb{x})$ je takový extrém, který splňuje omezení $g(\mathbb{x}) = 0$ . Při jeho hledání se používají Lagrangeovy multiplikátory.

Lagrangeovy multiplikátory

Nechť $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ , $h: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ . Nechť $\mathbb{x^*}$ je lokální extrém omezení $h(\mathbb{x}) = 0$ . Nechť $\nabla h(\mathbb{x^*}) \neq 0$ . Pak existuje $\lambda$ tak, že $\nabla f(\mathbb{x^*}) + \lambda \cdot \nabla h(\mathbb{x^*}) = 0$ .

Tato věta nám říká, že v lokáním extrému $\mathbb{x^*}$ jsou gradienty funkcí a rovnoběžné.

Příklad

Vypočtěte rozměry půllitru (válec bez víka) o objemu 0,5l tak, aby množství použitého skla bylo minimální.

Povrch a objem mohou být vypočítány jako

$V = \pi \cdot r^{2} \cdot v = 0.5$
$S = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot v$

Napíšeme Lagrangeovu funkci .

$F(\mathbb{x}, \lambda) = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot v + \lambda \cdot ( \pi \cdot r^{2} \cdot v - 0.5)$

Provedeme parciální derivace podle $r, v, \lambda$ .

${{\partial F} \over {\partial r}} = 2 \pi r + 2 \pi v + 2 \pi r v \lambda$
${{\partial F} \over {\partial v}} = 2 \pi r + \pi r^{2} \lambda$
${{\partial F} \over {\partial \lambda}} = \pi \cdot r^{2} \cdot v - 0.5$

Porovnáme nyní první derivace s nulou a vypočítáme kritické body.

${{\partial F} \over {\partial r}} = 2 \pi r + 2 \pi v + 2 \pi r v \lambda = 0$
${{\partial F} \over {\partial v}} = 2 \pi r + \pi r^{2} \lambda = 0$
${{\partial F} \over {\partial \lambda}} = \pi \cdot r^{2} \cdot v - 0.5 = 0$

Po vyřešení soustavy rovnic vyjde $r_{1} = 0$ , což je z hlediska interpretace nesmysl a $r_{2} = v, v = \sqrt[3]{{0.5} \over \pi}$ . Což jsou rozměry požadovaného půllitru, protože z interpretace vychází, že při nulovém poloměru a nekonečné výšce by byl objem nulový, stejně jako při nekonečném poloměru a nulové výšce.

{ zpětná vazba }

Tweet	Delicious
Sdílet

Hodnocení (1): 5

Přečtěte si také

Diskuse

Článek zatím nemá žádné komentáře.