Permutace

Permutace je variace prvků z . Jednoduše řečeno se jedná o každé uspořádání prvkové množiny, ve kterém se každý prvek vyskytuje právě jednou. Počet všech různých permutací z prvků lze vyjádřit jako:

Za předpokladu, že umožníme, aby se některé prvky vyskytly vícekrát – tj. hledáme všechny k-prvková uspořádání prvků, ve kterých se jednotlivé prvky vykytují $k_{1},\; k_{2},\; k_{3},\; \cdots,\; k_{n}$ krát – tak hovoříme o prvkové permutaci s opakováním ( $k = k_{1} + k_{2} + k_{3} + \cdots + k_{n}$ ). Počet všech permutací s opakováním vypočítáme dle následujícího vzorce:

$P'(k_{1}, \; k_{2}, \; k_{2},\; \cdots,\; k_{n})= {{k!} \over {k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot k_{3}! \cdots k_{n}!}$

Příklad

Vypište všechny permutace (bez opakování) prvků $a,\; b,\; c$ .

Řešení

$P = \{[a,\; b,\; c],\; [a,\; c,\; b],\; [b,\; a,\; c],\; [b,\; c,\; a],\; [c,\; a,\; b],\; [c,\; b,\; a]\}$

Příklad

Vypište všechny (čtyřčlenné) permutace s opakováním prvků $a,\; b$ ve kterých se oba prvky vyskytují právě dvakrát.

Řešení

$P' = \{[a,\; a,\; b,\; b],\; [a,\; b,\; a,\; b],\; [a,\; b,\; b,\; a],\; [b,\; a,\; b,\; a],\; [b,\; b,\; a,\; a],\; [b,\; a,\; a,\; b]\}$

Příklad

Kolika způsoby lze rozsadit 5 studentů do 5 lavic?

Řešení

Jedná se o problém uspořádání (záleží na pořadí) 5 prvků. Použijeme proto vzorec na permutaci (bez opakování). Bez znalosti vzorce bychom postupovali úvahou, že prvního studenta můžeme postadit do libovolné lavice (5 možností), druhého již jen do čtyř lavic (v jedné lavici už sedí první student), třetího do tří, čtvrtého do dvou a na posledního studenta již zbývá poslední lavice. Celkový počet uspořádání je proto:

$P(5) = 5! = 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1 = 120$

Příklad

Kolik permutací s opakováním lze vytvořit z písmen slova KOLO?

Řešení

Jedná se o čtyřčlenné permutace tří prvků, ve kterých se jeden prvek vyskytuje dvakrát a dva jednou.

$P'(2,\; 1,\; 1) = {4! \over (2!\cdot 1!\cdot 1!)} = {{24} \over {2}} = 12$

Lze vytvořit 12 permutací.

Literatura

POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vydání. Praha 4 : Prometheus, 2005. 608 s.

{ zpětná vazba }

Tweet		Delicious
Sdílet

Hodnocení (0): 0

Přečtěte si také

Kombinace

Variace

Diskuse

Pavel Mička25.1.2012

Díky. Příště si musím dát pozor, abych opravil všechny výskyty výsledku :-)

Franta25.1.2012

Dva preklepy:

druhy priklad v zadani - v zavorce je triclenne, pritom jsou ctyrclenne
ctvrty priklad - chyba ve vzorci je opravena, ale ve vysledku dole je stale napsano 30

Jinak moc pekne stranky, dobre se mi z toho uci.

Pavel Mička28.7.2011

Díky, patrně zatmění zdravého úsudku.

Opraveno.

zoa26.7.2011

máte tam chybu, u příkladu permutace slova KOLO, správný výsledek je 12, vzorec máte napsaný správně, ale 4!=24 a ne 60(=5x4x3...tak nevim, kde jste to vzali)